«Нужны ли еще Перельманы?» Сможет ли ИИ решить все «задачи тысячелетия»

Пятнадцать лет математики не могли доказать, что у уравнений Навье — Стокса не может быть особых точек, где скорость жидкости разгоняется до бесконечности, — а искусственный интеллект помог получить результат за несколько месяцев. Доктор физико-математических наук, директор Высшей школы современной математики МФТИ Андрей Соболевский рассказывает RTVI, как это открытие связано с самолетами и атомными станциями, почему интуиция физиков про вязкость оказалась неверна и чем нейросети полезны математикам, а чем — вредны.

Какова прикладная ценность уравнения Навье — Стокса

Уравнения Навье — Стокса описывают течение жидкости с двумя важными свойствами. Первое — несжимаемость: например, воздух сжимаем, а вода или ртуть в обычных условиях — нет. Второе — вязкость, то есть внутреннее трение. Самый понятный пример очень вязкой жидкости — мед, если он не засахарился и еще течет, но большей или меньшей вязкостью обладает и вода, и воздух, и вообще все жидкости. Обе особенности в модели учтены, поэтому под нее попадает масса инженерных задач: охлаждающий агент на атомной станции, расплавленный металл в металлургии, а на больших скоростях — и воздух, который для такого быстрого и тяжелого объекта, как самолет, ведет себя почти как несжимаемая жидкость.

Выписать решение уравнений Навье — Стокса формулой, как в школьной задаче по физике, удается далеко не всегда, и по-настоящему для инженеров эти уравнения стали играть важную роль только с появлением компьютеров.

Та же математика работает и вдали от производства. В астрофизике эти уравнения пишут для газа в межзвездной среде, а в аккреционных дисках, где перегретая плазма падает на черную дыру, к ним добавляются уравнения для электрических и магнитных полей.

Инженер решает эти уравнения готовым пакетом численных методов и бывает вполне удовлетворен. Но следом приходит физик и спрашивает, а во всех ли режимах модель адекватна? Плохая модель означает, что в решениях происходят математические «события», которых в действительности не может быть, — скажем, частицы жидкости разгоняются до бесконечной скорости, хотя быстрее света ничто не движется.

Кроме того, рядом со словами «уравнения Навье — Стокса» придется произнести еще один пугающий термин. Уравнение Эйлера — тоже модель движения несжимаемой жидкости, и отличается она ровно в одном месте, в ней нет диссипации, то есть рассеяния энергии. У уравнений Эйлера решение может разрушаться, когда скорость или завихренность в какой-то точке за конечное время обращается в бесконечность, и такую точку называют особенностью или сингулярностью. Раз внутреннего трения нет, гасить рост нечему. А у Навье — Стокса долго считалось, что особенности, скорее всего, возникать не могут, потому что трение все делает более плавным и регулярным.

Почти любой физик рассуждает так — трение рассеивает энергию, а значит, гасит любые резкие всплески и не дает течению разогнаться до бесконечности. Но это интуиция, а не доказательство, и доказательства не появлялось до последнего времени.

Трудность тут заключается не только в нехватке явных решений. Жидкость — система с неисчислимым количеством степеней свободы. Движение Земли вокруг Солнца мы описываем, следя за двумя точками, Солнечная система требует уже десятков тысяч объектов, и небесная механика из-за этого является очень сложной наукой. А здесь же следить надо за бесконечностью частиц, ведь у непрерывной жидкости частица есть буквально в каждой точке пространства. Интуицию тут выработать крайне трудно, хотя у коллег, думающих об этом всю жизнь, она все-таки есть.

Как понимание копилось пятнадцать лет и почему ответ оказался неожиданным

В начале сентября OpenAI объявила, что ее модели получили решение задачи о сингулярностях в уравнениях Навье — Стокса, а почти одновременно с этим другие, но близкие результаты опубликовали Тристан Бакмастер из Нью-Йоркского университета и Левент Альпеге из Anthropic. Взялось это, разумеется, не из воздуха. Раздумья об этой задаче то активизировались, то затихали. В шестидесятые Владимир Игоревич Арнольд заметил, что уравнения Эйлера обладают глубокой формальной аналогией с уравнениями движения волчка — простой системы, про которую понятно многое. Записанные так, они получили название уравнений Эйлера — Арнольда, и эта статья 1966 года сразу дала новую точку зрения, а в 1970-е математическая гидродинамика ожила после десятилетий затишья.

Более труднообъяснимые вещи начались лет пятнадцать назад благодаря работам таких людей, как венгр Ласло Секейхиди и итальянец Камилло де Леллис. Тогда стало копиться понимание того, как устроены течения, в которых возникают сингулярности, — понимание пока еще чисто человеческое, без всякого искусственного интеллекта. И вот теперь, в сотрудничестве человека с коллективами сетевых агентов, оно дало результат.

Сам я за приближением к развязке не следил, но основные идеи последних пятнадцати лет принадлежат людям, которых я знаю лично или через одно-два рукопожатия. В публичном заявлении Бакмастера о том, как странно повела себя по отношению к нему OpenAI, перечислены имена тех, на чьих плечах они с соавтором построили пример разрушения решения для уравнения Эйлера. Эйлер же родственен Навье — Стоксу, так что рядом лежит и пример для второго уравнения.

Причем решенной неожиданно, поскольку оказалось, что вязкость не гарантирует регулярности решений, и это идет вразрез с интуицией большинства специалистов.

В тех крошечных областях потока, где регулярность нарушается, гидродинамика перестает работать, и там придется вспомнить, что жидкость есть совокупность молекул. Описывать такие течения надо будет уравнениями кинетической теории, как это делают в науке о плазме, а уравнение Навье — Стокса заменят более корректной моделью, по поводу которой рано или поздно возникнет тот же вопрос, и цикл повторится. Скорее всего, впрочем, новой физики здесь нет: жидкости изучают и используют слишком разнообразно, и встречайся такие режимы в природе или в технологиях, их бы давно заметили.

Единственная ли это «задача тысячелетия», решение которой может дать переворот в технике

Куда более крупные практические последствия может принести решение другой «задачи тысячелетия», проблемы P против NP. За минувший век математика стала наукой прямого инженерного применения благодаря телекоммуникациям, криптографии и компьютерам, где сама технология представляет собой набор математических объектов, пересаженных в кремний и в волоконную оптику. Разделы математики вроде теории чисел и математической логики (теории сложности вычислений), казавшиеся очень абстрактными, превратились в конкретно инженерные.

Суть проблемы P против NP объясняет хрестоматийный пример. Вы заходите в огромный зал на светский прием, там толпа, все шумно разговаривают и пьют коктейли, а вам важно знать, есть ли среди них ваш знакомый. Вы долго озираетесь и не находите его, но тут кто-то подходит и говорит: «Слушай, а вон там в углу с женщиной в красном платье не он разговаривает?» Вы смотрите и либо немедленно узнаете знакомого, либо отвечаете, что ваш собеседник обознался. Разница между двумя этими занятиями огромна. Обшаривать зал глазами можно полчаса, а на проверку чужой подсказки уходит секунда, и никакого нового умения для нее не требуется.

По такому же принципу задачи, которые решаются вычислительно легко, образуют класс P («полиномиальные»), а те, где решение легко проверить, но про сложность самого решения мы ничего не знаем — точнее, не знаем легкого решения, а знаем только очень трудные, образуют класс NP («недетерминированные полиномиальные»). Криптозащита строится именно на них, потому что подобрать ключ трудно, а проверить найденный легко.

Скорее всего, эти классы не совпадают, но не доказано ни одно, ни другое. Совпади они, и трудные вещи внезапно оказались бы простыми, а дорогие технологии дешевыми, так что из семи задач тысячелетия именно эта сильнее всего изменила бы мир. И как раз ее искусственный интеллект решает пока плохо, потому что доказательства машины строят намного хуже, чем контрпримеры.

Что машины дают математику, что у него отнимают и чего ждать через 10 лет

В использовании ИИ я вижу конкретный плюс и конкретный минус, и моя точка зрения не оригинальна: ее разделяют многие коллеги. Плюс в том, что ИИ-модели хорошо строят контрпримеры. Летом так опровергли известную и трудную гипотезу о якобиане в алгебраической геометрии, теперь то же произошло с уравнениями Эйлера и Навье — Стокса. В нормальной работе поиск контрпримера — обычное дело. Вы пытаетесь доказать теорему, у вас не выходит, вы начинаете искать пример, где утверждение нарушается, но, нащупывая, почему он не строится, внезапно получаете идею доказательства. Лобачевский пытался показать, что отсутствие пятого постулата приведет к противоречию, а обнаружил новую геометрию, совершенно непротиворечивую и очень красивую.

Теперь у вас есть автоматический помощник, который подскажет контрпример и сэкономит время, а заодно наведет на идеи из литературы, которые по старинке вы бы не нашли, потому что порог вхождения в язык соседней области высок. Отказываться от такого преимущества нелепо, и в академической конкуренции эффективнее будут работать те, кто этими инструментами овладел.

Минус в том, что те же инструменты легко порождают тексты, похожие на науку и неотличимые от нее, но без интереса и понимания внутри. Журналы уже сталкиваются с девятым валом сгенерированных статей, формально корректных, но совершенно пустых, сгенерированных ради строчки в резюме. Прогресс уже не раз приводил к потоку имитационных работ, от которых трудно отбиться из-за формальной корректности, и привыкание к этому, думаю, займет хорошее десятилетие.

Углубление понимания при этом остается главным результатом работы всего сообщества, и здесь машины помогут, но сам процесс останется человеческим. Понимание, как и эмоции, как и личность, не может целиком уйти внутрь нейросетей.

Тут, конечно, возникает вопрос, нужны ли еще Перельманы, сидящие с грудой бумаг. Математик, который на бумажке прикидывает промпт, а потом промптит нейросеть, не кажется мне фундаментально отличным от математика, который встает утром, наливает чашку кофе и смотрит, что появилось за ночь в библиотеке научных публикаций arXiv. А тот — от математика, который вместо переписки с несколькими коллегами, разбросанными по всей Европе XVII—XVIII веков, в XIX веке начал наконец читать журнал, расходящийся в сотнях экземпляров, — потому что научные журналы в свое время тоже были революцией. Ученый, царапающий каракули на обороте почтового конверта, уйдет в прошлое лишь частично, ведь на обороте конверта вполне можно прикинуть промпт.

Что касается остальных «задач тысячелетия», то рискну предположить с большой вероятностью попасть пальцем в небо, что на горизонте пяти-десяти лет мы увидим решенными если не все оставшиеся, то большую их часть. Если это будет не так, в 2036-м посмеемся над моим прогнозом, а если их все решат до Нового года, то вполне успеем распить шампанское за мою ошибку еще в текущем году.

Ну и наконец, если говорить о страхах, согласно которым ИИ заменит нас всех, то стоит отметить, что сравнивать вычислительную мощность систем искусственного интеллекта с мощностью биологического мозга — занятие правильное, но кроме мозга есть еще язык, речь и взаимное понимание людей. Язык как среда, на которой все это держится, вообще не артефакт наших мозгов, он свойство общества целиком. Модели работают с нами через интерфейс из промптов и сообщений на естественном языке, поэтому отдельно от человечества тут ничто не возникает. Развивается та самая коммуникативная среда, которая делает нас людьми и отличает Homo sapiens от прочих видов.

Машина все яснее очерчивает для нас границы человеческого, но от ответственности за собственное развитие человечество не избавится никогда, потому что даже искусственный интеллект, который кажется отменяющим человека, остается частью человеческой системы.

---

Мнение автора может не совпадать с мнением редакции